Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)時，總有，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）5.

【解析】

（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得該函數(shù)最小值的范圍，即可求得參數(shù)的范圍.

（1）當(dāng)時，，定義域為，，

由得，由得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）由題當(dāng)時，恒成立，

即在時恒成立，

即在時恒成立，

令，則，

令，

則在時恒成立.

所以在上單調(diào)遞增，又知，，

所以在上存在唯一實數(shù)，滿足，即，

當(dāng)時，，即；

當(dāng)時，，即.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

即.

由在時恒成立，

所以，又知，所以整數(shù)的最大值為5.