Question

【題目】已知數列的前項和為，，且時，數列滿足，，對任意，都有.

（1）求數列，的通項公式；

（2）令若對任意的，不等式恒成立，試求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），.（2）

【解析】

（1）根據，變形為，用累乘法求解，根據，且，利用等比中項得到數列是等比數列，求得通項.

（2）用等差數列的前n項和公式求得，用錯位相減法求得， 再根據不等式，對任意的恒成立，轉化為恒成立，令求其最大值即可.

（1）當時，，即.

，

又，也滿足上式，故數列的通項公式.

由，且，知數列是等比數列，其首項公比均為，

∴數列的通項公式，

（2）.

<1>，

<2>，

由<1>-<2>，得，

，

，

因為不等式，對任意的恒成立，

即，對任意的恒成立，

即恒成立.

即恒成立，

令.

則，

因為，所以單調遞增且大于0，

所以 單調遞增，

當時，，且，故，

所以實數的取值范圍是.