Question

【題目】已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，過左焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）若圓上一點(diǎn)處的切線交橢圓于兩不同點(diǎn)，求弦長(zhǎng)的最大值.

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)通徑和離心率及橢圓中的關(guān)系，可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（Ⅱ）討論當(dāng)斜率是否存在。當(dāng)斜率不存在時(shí)，易得切線方程和切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到的值。當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，根據(jù)直線與圓相切，得到；聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式表示出，再用換元法及函數(shù)單調(diào)性判斷的最值。

（Ⅰ）由已知，設(shè)橢圓的方程為，

因?yàn)?/span>，不妨設(shè)點(diǎn)，代入橢圓方程得，，

又因?yàn)?/span>， 所以，，所以，，

所以的方程為.

（Ⅱ）依題意，圓上的切點(diǎn)不能為，

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，此時(shí)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以.

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由直線與圓相切，得，

即，設(shè)，

聯(lián)立得，，，

所以

所以，令，則，，

，越大，越大，所以，即.

綜合①②知，弦長(zhǎng)的最大值為.