Question

從4名男生和5名女生中任選5人參加數學課外小組，求在下列條件下各有多少種不同的選法？
（1）選2名男生和3名女生，且女生甲必須入選；
（2）至多選4名女生，且男生甲和女生乙不同時入選．

Answer 1

分析：（1）選2名男生必須從4名男生中選取，利用組合的知識可知有

C

2 4

種選法；選取女生時，對于女生甲優先考慮，先把甲選上，只有一種方法，再從剩下的4名女生中選取2人，可有

C

2 4

種方法，利用乘法原理即可得出答案；
（2）通過分類討論，特殊元素優先考慮，利用加法原理和乘法原理即可得出．

解答：解：（1）從9人中任選5人，其中選2名男生有

C

2 4

種選法，3名女生且女生甲必須入選可以這樣選：先把甲選上，有

C

1 1

種選法，再從剩下的4名女生中選2人的方法有

C

2 4

種，根據乘法原理可知選女生的方法共有

C

1 1

C

2 4

種方法．
由乘法原理可得：選2名男生和3名女生，且女生甲必須入選的方法為

C

2 4

C

1 1

C

2 4

=36種．
（2）分為以下4類：
①選4名男生和除了女生乙以外的1名女生可有

C

4 4

C

1 4

=4；
②選3名男生和2名女生分為：男生甲被選上女生乙不被選上，男生甲不被選上女生乙被選上，男生甲、女生乙都不被選上，共有

C

1 1

C

2 3

C

2 4

+

C

3 3

C

1 1

C

1 4

+

C

3 3

C

2 4

=28；
③選2名男生和3名女生分為：男生甲被選上女生乙不被選上，男生甲不被選上女生乙被選上，男生甲、女生乙都不被選上，共有

C

1 1

C

1 3

C

3 4

+

C

2 3

C

1 1

C

2 4

+

C

2 3

C

3 4

=42；
④選1名男生和4名女生分為：男生甲被選上女生乙不被選上，男生甲不被選上女生乙被選上，男生甲、女生乙都不被選上，共有

C

1 1

C

4 4

+

C

1 3

C

1 1

C

3 4

+

C

1 3

C

4 4

=16．
由分類加法原理可知：至多選4名女生，且男生甲和女生乙不同時入選的方法共有4+28+42+16=90種．

點評：熟練掌握分類加法原理和分步乘法原理及特殊元素優先考慮的原則是解題的關鍵．