Question

設函數，，為常數
（1）求的最小值的解析式;
（2）在（1）中，是否存在最小的整數，使得對于任意均成立，若存在，求出 的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1);(2).

解析試題分析：(1)根據二次函數在區間上單調遞減,在區間上單調遞增,又函數的對稱軸為直線,且,可分,,進行分類討論,從而求得函數的最小值的解析式;(2)由(1)知當時,函數為單調遞減函數,且最大值為,當時,函數,在上為單調遞增,在上單調遞減,最大值為,當時,函數為單調遞增,最大值為,所以關于自變量的函數的最大值為,又由不等式得,對于任意均成立,從而存在最小的整數.
試題解析：（1）由題意,函數圖像是開口向上,對稱軸的拋物線,
當時，在上是增函數，時有最小值
當時，在上是減函數，時有最小值
③當時，在上是不單調，時有最小值              8分
（2）存在，由題知在是增函數，在是減函數
時，，
恒成立，
為整數，的最小值為                  14分
考點：二次函數單調性、最值.