Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD=8，AD=4，AB=2DC=4 ．
（1）設M是PC上的一點，求證：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱錐P﹣ABCD的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△ABD中，∵AD=4，AB=4 ，BD=8，

∴AD2+BD2=AB2，

∴AD⊥BD．

又∵面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，

∴BD⊥面PAD，

又BD面BDM，

∴面MBD⊥面PAD

（2）解：過P作PO⊥AD，

∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PO平面PAD，

∴PO⊥面ABCD，

即PO為四棱錐P﹣ABCD的高．

又△PAD是邊長為4的等邊三角形，

∴PO=2 ．

過D作DN⊥AB，則DN= = ．

∴S梯形ABCD= ×（2 +4 ）× =24，

∴VP﹣ABCD= =16 ．

【解析】（1）利用勾股定理逆定理可得AD⊥BD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得出BD⊥平面PAD，故而平面BDM⊥平面PAD；（2）過P作PO⊥AD，則PO⊥平面ABCD，求出梯形ABCD的高和棱錐的高PO，代入棱錐的體積公式計算即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直)．