Question

設a，b∈R，且a≠2，若定義在區間(-b，b)內的函數f(x)=lg

1+ax

1+2x

是奇函數，則a+b的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意和奇函數的定義f（-x）=-f（x）求出a的值，再由對數的真數大于零求出函數的定義域，則所給的區間應是定義域的子集，求出b的范圍進而求出a+b的范圍．

解答：解：∵定義在區間（-b，b）內的函數f（x）=lg

1+ax

1+2x

是奇函數，
∴任x∈（-b，b），f（-x）=-f（x），即lg

1-ax

1-2x

=-lg

1+ax

1+2x

，
∴lg

1-ax

1-2x

=lg

1+2x

1+ax

，則有

1-ax

1-2x

=

1+2x

1+ax

，
即1-a²x²=1-4x²，解得a=±2，
又∵a≠2，∴a=-2；則函數f（x）=lg

1-2x

1+2x

，
要使函數有意義，則

1-2x

1+2x

＞0，即（1+2x）（1-2x）＞0
解得：-

1

2

＜x＜

1

2

，即函數f（x）的定義域為：（-

1

2

，

1

2

），
∴（-b，b）⊆（-

1

2

，

1

2

），∴0＜b≤

1

2

∴-2＜a+b≤-

3

2

，即所求的范圍是(-2，-

3

2

]；
故答案為：(-2，-

3

2

]．

點評：本題考查了奇函數的定義以及求對數函數的定義域，利用子集關系求出b的范圍，考查了學生的運算能力和對定義的運用能力．