Question

如圖所示，圓錐的軸截面為等腰直角， 為底面圓周上一點．

（1）若的中點為，,求證平面；

（2）如果,,求此圓錐的全面積．

 

Answer 1

(1)詳見解析；(2).

【解析】

試題分析：(1)要證平面,即證垂直于平面內的兩條相交直線，是已知，轉化為證平面,利用母線相等，利用底面半徑相等，為中點，證得平面 ，證得，,得證；(2),求出底面半徑，以及母線長，根據全面積公式，,求出全面積.

試題解析：【解析】
①連接OC，

∵OQ=OB，C為QB的中點，∴OC⊥QB 2分

∵SO⊥平面ABQ，BQ平面ABQ

∴SO⊥BQ，結合SO∩OC=0，可得BQ⊥平面SOC

∵OH?平面SOC，∴BQ⊥OH， 5分

∵OH⊥SC，SC、BQ是平面SBQ內的相交直線，

∴OH⊥平面SBQ； 6分

②∵∠AOQ=60°，QB＝，∴直角△ABQ中，∠ABQ=30°，

可得AB==4 8分

∵圓錐的軸截面為等腰直角△SAB，

∴圓錐的底面半徑為2，高SO=2，可得母線SA=2，

因此，圓錐的側面積為S側=π×2×2=4π 10分

∴此圓錐的全面積為S側+S底=4π+π×22=（4+4）π 12分

考點：1.線面垂直的判定；2.線面垂直的性質；3.幾何體的表面積.