Question

（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐中，底面
，
點，分別在棱上，且            
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）當為的中點時，求與平面所成的角的余弦值；
（Ⅲ）是否存在點使得二面角為直二面角？并說明理由.

Answer 1

解：【解法1】本題主要考查直線和平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．
（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.   又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.…………
（Ⅱ）∵D為PB的中點，DE//BC，
∴，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP為等腰直角三角形，∴，
∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，  
∴與平面所成的角的余弦值為.…………
（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP為二面角的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.      
∴在棱PC上存在一點E，使得AE⊥PC，這時，
故存在點E使得二面角是直二面角.…………
【解法2】如圖，以A為原煤點建立空間直角坐標系，
設，由已知可得  .
（Ⅰ）∵，     ∴，∴BC⊥AP.
又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.…………
（Ⅱ）∵D為PB的中點，DE//BC，∴E為PC的中點， ∴，
∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，
∵，∴.
∴與平面所成的角的余弦值為.………   （Ⅲ）同解法1.

略