Question

【題目】過曲線y=x2（x≥0）上某一點(diǎn)A作一切線l，使之與曲線以及x軸所圍成的圖形的面積為 ，試求：
（1）切點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）過切點(diǎn)A的切線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a2），過點(diǎn)A的切線的斜率為k=y'|x=a=2a，

故過點(diǎn)A的切線l的方程為y﹣a2=2a（x﹣a），即y=2ax﹣a2，令y=0，得 ，

則 ， ，

∴

∴a=1

∴切點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1）

（2）解：∵直線的斜率k=2×1=2，

且過點(diǎn)（1，1）

∴直線方程為y=2x﹣1

【解析】（1）欲求切點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a2），只須在切點(diǎn)處的切線方程，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率從而得到切線的方程進(jìn)而求得面積的表達(dá)式．最后建立關(guān)于a的方程解之即得．（2）欲求過切點(diǎn)A的切線l的方程，只須求出其斜率的值即可，由（1）中求得的導(dǎo)數(shù)值即可求出切線的斜率．從而問題解決．