Question

【題目】已知圓C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）與直線l：y=x+3，且直線l有唯一的一個點P，使得過P點作圓C的兩條切線互相垂直，則r=；設EF是直線l上的一條線段，若對于圓C上的任意一點Q，∠EQF≥ ，則|EF|的最小值= ．

Answer 1

【答案】2；4 +4
【解析】解：①∵圓心為C（1，0），半徑為r；
設兩個切點分別為A、B，則由題意可得四邊形PACB為正方形，
∴PC= r，
∴圓心C到直線y=x+3的距離等于PC= r，
即 = r，
解得r=2；
②由題意，圓心C（1，0）到直線l：y=x+3的距離為2 ＞2（半徑），
所以直線l和圓相離；
從圓上任一點Q向直線上的兩點連線成角，當且僅當點Q在如圖所示的位置時，∠EQF最小，
又∠EQF≥ ，得∠EQP≥ ；
∴PE≥PQ=PC+CQ=2 +2，
∴EF≥2PQ=4 +4；
即|EF|的最小值為4 +4．
所以答案是：2；4 +4．