Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C的各條棱長(zhǎng)都為a，P為A₁B上的點(diǎn)，且PC⊥AB
（1）求二面角P-AC-B的正切值；
（2）求點(diǎn)B到平面PAC的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）過(guò)P點(diǎn)作PM⊥AB于M，由正三棱柱性質(zhì)知PM⊥平面ABC，過(guò)M作MN⊥AC于N，連接PN，則PN⊥AC，從而∠PNM為二面角P-AC-B的平面角，在Rt△PMN中，可求二面角P-AC-B的正切值．
（Ⅱ）根據(jù)M是AB中點(diǎn)，可知B到平面PAC距離等于M到平面PAC距離的2倍，過(guò)M作MQ⊥PN于Q，則MQ⊥平面PAC，可求M到平面PAC距離，從而可求點(diǎn)B到平面PAC距離．

解答：解：（Ⅰ）過(guò)P點(diǎn)作PM⊥AB于M，由正三棱柱性質(zhì)知PM⊥平面ABC，
連接MC，則MC為PC在平面ABC上的射影．
∵PC⊥AB，∴MC⊥AB，∴M為AB中點(diǎn)，
又PM∥AA₁，所以P為A₁B的中點(diǎn)．
過(guò)M作MN⊥AC于N，連接PN，則PN⊥AC，∴∠PNM為二面角P-AC-B的平面角
在Rt△PMN中，由|PM|=

a

2

，|MN|=

3

4

a，得tan∠PNM=

|PM|

|MN|

=

2 3

3

．
所以二面角P-AC-B的正切值為

2 3

3

…（6分）
（Ⅱ）∵M(jìn)是AB中點(diǎn)，∴B到平面PAC距離等于M到平面PAC距離的2倍，
又由（I）知AC⊥平面PMN，∴平面PMN⊥平面PAC，
過(guò)M作MQ⊥PN于Q，則MQ⊥平面PAC，|MQ|=

|PM|•|MN|

|PM|2+|MN|2

=

a 2 × 3 4 a

a2 4 + 3 16 a2

=

21

14

a．
故所求點(diǎn)B到平面PAC距離為

21

7

a…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以正三棱柱為載體，考查面面角，考查點(diǎn)到面的距離，關(guān)鍵是作出面面角，尋找表示點(diǎn)面距離的線段．