Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+bx2+cx（b、c為常數(shù)）的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為α、β，f（x）在點(diǎn)（-1，f（-1））處切線為l₁，其斜率為k₁；在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為l₂，其斜率為k₂．
（1）若l₁⊥l₂，|α-β|=1，求b，c；
（2）若α∈（-3，-2），β∈（0，1），求k₁的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，再利用l₁⊥l₂⇒f'（-1）f'（1）=-1找到（2b+c+1）（-2b+c+1）=-1①；再利用α、β為極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)=0的根和|α-β|=1，找出4b²-4c=1  ②，共同解得b，c．
（2）α∈（-3，-2），β∈（0，1）說明f'（x）=x²+2bx+c=0的兩根位于（-3，-2）和（0，1），畫出對(duì)應(yīng)的圖象，利用圖象找到b，c所滿足的不等式組，在利用線性規(guī)劃知識(shí)求出k₁的取值范圍．

解答：解：（1）由題得f'（x）=x²+2bx+c
∵l₁⊥l₂，∴f'（-1）f'（1）=-1
即（2b+c+1）（-2b+c+1）=-1  ①
∵α，β是x²+2bx+c=0的兩根
∴α+β=-2b，αβ=c．
又因?yàn)閨α-β|=1，
∴|α-β|²=（α+β）²-4αβ=4b²-4c=1  ②
由①②得 c=1，b=±

5

2

．
（2）∵f'（x）=x²+2bx+c，α∈（-3，-2），β∈（0，1）
∴

f′(-3)＞0 f′(-2)＜0 f′(0)＜0 f′(1)＞0

即

9-6b+c＞0 4-4b+c＜0 c＜0 1+2b+c＞0

則點(diǎn)P（b，c）的取值范圍如圖中陰影部分所示，
∵k₁=-2b+c+1，當(dāng)直線l₁過點(diǎn)A（1，0）時(shí)k₁=-1，當(dāng)直線l₁過點(diǎn)C（1，-3）時(shí)，k₁=-4，
∴k₁的取值范圍是（-4，-1）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的極值、導(dǎo)數(shù)、不等式．線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，以及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題和解決問題的能力．