Question

【題目】已知函數．

（1）若關于x的方程僅有1個實數根，求實數的取值范圍；

（2）若是函數的極大值點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由僅有1個實數根可考慮利用參變分離得,再分析函數的單調性與極值最值,畫出圖像分析何時僅有一根即可.
(2)表達出的函數式,求導后再根據極值點的大小關系分的不同類進行討論即可.

（1）依題意,,顯然不是方程的根,故,令,則,

故函數在和上單調遞增,且當時,,當x從負方向趨于0時以及時,,當x從正方向趨于0時,,

作出函數的圖象如圖所示,觀察可知,,即實數的取值范圍為．

（2）,則．

①若,則當時,,,,所以；

當時,,,所以．所以在處取得極大值．

②若,則當時,,,所以．所以不是的極大值點．

綜上所述,實數a的取值范圍是．