Question

【題目】某賓館在裝修時，為了美觀，欲將客房的窗戶設計成半徑為1m的圓形，并用四根木條將圓分成如圖所示的9個區域，其中四邊形ABCD為中心在圓心的矩形，現計劃將矩形ABCD區域設計為可推拉的窗口．

（1）若窗口ABCD為正方形，且面積大于 m2（木條寬度忽略不計），求四根木條總長的取值范圍；
（2）若四根木條總長為6m，求窗口ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設一根木條長為xcm，則正方形的邊長為2 = ，

∵SABCD＞ ，

∴4﹣x2＞ ，

∴x＜ ，

∵四根木條將圓分成9個區域，

∴x＞ ，

∴4 ＜x＜2 ；

（2）解：設AB所在木條長為am，CD所在木條長為bm，

由條件，2a+2b=6，則a+b=3，

∵a，b∈（0，2），

∴b=3﹣a∈（0，2），∴a，b∈（1，2）．

∵AB=2 ，BD=2 ，

∴SABCD=4 = ≤ ≤ = ，

當且僅當a=b= ∈（1，2）時，SABCD= ，

答：窗口ABCD面積的最大值為

【解析】（1）求出正方形的邊長，可得正方形的面積，利用面積大于 m2 ， 即可求四根木條總長的取值范圍；（2）設AB所在木條長為am，CD所在木條長為bm，求出AB，BD，可得窗口ABCD面積，利用基本不等式求窗口ABCD面積的最大值．
【考點精析】利用基本不等式在最值問題中的應用對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”．