Question

已知某商品的進貨單價為1元/件，商戶甲往年以單價2元/件銷售該商品時，年銷量為1萬件，今年擬下調銷售單價以提高銷量，增加收益．據測算，若今年的實際銷售單價為x元/件(1≤x≤2)，今年新增的年銷量(單位：萬件)與(2－x)²成正比，比例系數為4．
（1）寫出今年商戶甲的收益y(單位：萬元)與今年的實際銷售單價x間的函數關系式；
（2）商戶甲今年采取降低單價，提高銷量的營銷策略是否能獲得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？說明理由．

Answer 1

（1）y＝4x³－20x²＋33x－17，(1≤x≤2)（2）不能

解析試題分析：（1）根據收益等于單件利潤與銷售量的乘積，列等量關系.注意今年銷售量等于原銷售量與新增的年銷量之和，另外還要注意交代函數定義域；y＝[1＋4(x－2)²](x－1)＝4x³－20x²＋33x－17，(1≤x≤2)．（2）本題實際需求本年收益范圍，即需求函數y＝4x³－20x²＋33x－17，1≤x≤2的值域，這可借助于導數研究.
求導后可知函數圖像先增后減再增，因此其最大值在極大值及處取到，比較大小知f(x)在區間[1，2]上的最大值為f(2)＝1，即為往年的收益，所以商戶甲采取降低單價，提高銷量的營銷策略不能獲得比往年更大的收益．
試題解析：解 （1）由題意知，今年的年銷售量為1＋4(x－2)² (萬件)．
因為每銷售一件，商戶甲可獲利(x－1)元，所以今年商戶甲的收益y＝[1＋4(x－2)²](x－1)
＝4x³－20x²＋33x－17，(1≤x≤2)．  4分
（2）由（1）知y＝4x³－20x²＋33x－17，1≤x≤2， 從而y′＝12x²－40x＋33＝(2x－3)(6x－11)．
令y′＝0，解得x＝，或x＝．列表如下：

x	(1，)		(，)		(，2)
f ′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

 7分
又f()＝1，f(2)＝1，所以f(x)在區間[1，2]上的最大值為1(萬元)．
而往年的收益為(2－1)×1＝1(萬元)，
所以，商戶甲采取降低單價，提高銷量的營銷策略不能獲得比往年更大的收益．
10分
考點：函數解析式，利用導數求函數最值