Question

【題目】設函數f（x）=x|x﹣a|，若對于任意的x1 ， x2∈[﹣2，+∞），x1≠x2 ， 不等式 ＞0恒成立，則實數a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣4]∪{0}
【解析】解：由題意知，對于任意的x1 ， x2∈[﹣2，+∞），x1≠x2 ，
不等式 ＞0恒成立，
∴f（x）=x|x﹣a|在[﹣2，+∞）上單調遞增．
（1）當a≤﹣2時，
若x∈[﹣2，+∞），則f（x）=x（x﹣a）=x2﹣ax，其對稱軸為x= ，
此時 ≤﹣2，所以f（x）在[﹣2，+∞）上是遞增的；
即a≤﹣4時滿足題意；
（2）當a＞﹣2且a≠0時，
①若x∈[a，+∞），則f（x）=x（x﹣a）=x2﹣ax，其對稱軸為x= ，所以f（x）在[a，+∞）上是遞增的；
②若x∈[﹣2，a），則f（x）=x（a﹣x）=﹣x2+ax，其對稱軸為x= ，所以f（x）在[ ，a）上是遞減的，
因此f（x）在[﹣2，a）上必有遞減區間．
故可知當a＞﹣2且a≠0時不成立，故舍去；
（3）當a=0時，可知函數為f（x）=x|x|= ，
由二次函數的性質可知，符合題意單調遞增的要求，故成立
綜上，實數a的取值范圍是（﹣∞，﹣4]∪{0}．