Question

設F是拋物線G：x²=4y的焦點，點P是F關于原點的對稱點．
（Ⅰ）過點P作拋物線G的切線，若切點在第一象限，求切線方程；
（Ⅱ）試探究（Ⅰ）中的拋物線G的切線與動圓x²+（y-m）²=5，m∈R的位置關系．

Answer 1

分析：（ I）利用導數求切線的斜率，假設切線方程，利用切點在切線上，即可求得切線方程；
（Ⅱ）探求圓心到切線的距離與圓的半徑的關系，從而確定（Ⅰ）中的拋物線G的切線與動圓x²+（y-m）²=5，m∈R的位置關系．

解答：解：（ I）設切點Q(x0，

x 2 0

4

)（x₀＞0）．
由y′=

x

2

，知拋物線在Q點處的切線斜率為

x0

2

，故所求切線方程y-

x 2 0

4

=

x0

2

(x-x0)．                    （2分）
即y=

x0

2

x-

x 2 0

4

．                                                                （4分）
∵拋物線x²=4y的焦點為F（0，1），點P是F關于原點的對稱點
∴P（0，-1）
因為點P（0，-1）在切線上．
所以-1=-

x 2 0

4

，
∴

x

2 0

=4，
∵x₀＞0
∴x₀=2．                                    （6分）
∴所求切線方程為y=x-1．                                                         （7分）
（Ⅱ） x²+（y-m）²=5，m∈R半徑為r=

5

，圓心（0，m）到直線x-y-1=0的距離d=

|-m-1|

2

=

|m+1|

2

若d＞r，

|m+1|

2

＞

5

，m＞

10

-1或m＜-

10

-1時，x-y-1=0與圓相離，（9分）
若d=r，

|m+1|

2

=

5

，m=

10

-1或m=-

10

-1時，x-y-1=0與圓相切，（11分）
若d＜r，

|m+1|

2

＜

5

，-

10

-1＜m=

10

-1時，x-y-1=0與圓相交，（13分）
綜上，若m＞

10

-1或m＜-

10

-1時（Ⅰ）中拋物線G的切線與動圓x²+（y-m）²=5相離，
若m=

10

-1或m=-

10

-1時（Ⅰ）中的拋物線G的切線與動圓x²+（y-m）²=5相切，
若-

10

-1＜m=

10

-1時（Ⅰ）中的拋物線G的切線與動圓x²+（y-m）²=5相交       （14分）

點評：本題重點考查拋物線的切線，考查直線與圓的位置關系，解題時運用導數為工具，利用圓心到直線的距離與半徑的關系，研究直線與圓的位置關系．