Question

已知邊長為6的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F為AD、CD上靠近D的三等分點，H為BB₁上靠近B的三等分點，G是EF的中點．
（1）求A₁H與平面EFH所成角的正弦值；
（2）設點P在線段GH上，=λ，試確定λ的值，使得二面角P-C₁B₁-A₁的余弦值為．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意建立坐標系，求出平面EFH的法向量，利用對應向量的數量積求出線面角的余弦值，再求其正弦值；
（2）由題意先求出P點的坐標，確定面A₁B₁C₁的法向量、面PC₁B₁的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結論．
解答：解：由題意，以D₁為坐標原點，A₁D₁，D₁C₁，DD₁為x，y，z軸建立直角坐標系，可得E（2，0，6），F（0，2，6），H（6，6，4），A₁（6，0，0）．
（1）設平面EFH的法向量=（1，x，y），
∵=（-2，2，0），=（4，6，-2）
∴由，可得
∴可取=（1，1，5）；
∵=（0，6，4），
∴cos＜＞===
∴求A₁H與平面EFH所成角的正弦值為；
（2）由題意知，G（1，1，6），C₁（0，6，0），=（5，5，-2），
∵=λ，∴=（5λ，5λ，-2λ），解得P（5λ+1，5λ+1，-2λ+6），
已知面A₁B₁C₁的法向量為=（0，0，6）
設面PC₁B₁的法向量為=（p，q，r），
∵=（5λ+1，5λ-5，-2λ+6），=（6，0，0）
∴
∴可取=（0，2λ-6，5λ-5）
∵二面角P-C₁B₁-A₁的余弦值為，
∴|cos＜＞|=||=||=
∴λ=．
點評：本題用向量法求線面角、面面角的問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．