【題目】已知函數(shù)
，其中
為自然對數(shù)的底數(shù)，若當
時， 
的最大值為
.
（1）求函數(shù)
的解析式；
（2）若對任意的
， 
，不等式
恒成立，求
的最大值.
【答案】(1)見解析;(2) 
.
【解析】試題分析：（1）由題意，得
，對a分類討論，明確函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)
的解析式；（2）令
.令
的最小值恒大于等于零，從而得到
的最大值.
試題解析：
（1）由題意，得
.
當
，即
時， 
在
時為單調(diào)遞減函數(shù)，
所以
最大值為
.
當
，即
時，當
時， 
， 
單調(diào)遞增；
當
時， 
， 
單調(diào)遞減，
所以
的最大值為
.
當
時，即
時， 
， 
在
時為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以
的最大值為
.
綜上得
（2）令
.
①當
時， 
，
由
，得
，
所以當
時， 
；
當
時， 
，
故
最小值為
.
故當
且
時， 
恒成立.
②當
，且
時， 
.
因為
，
所以
單調(diào)遞增，
故
.
令
，
則
，
故當
時， 
為減函數(shù)，
所以
，
又
，
所以當
時， 
，
即
恒成立.
③當
，且
時，
，
因為
，
所以
單調(diào)遞減，
故
.
令
，
則
，
所以當
時， 
為增函數(shù)，
所以
，
所以
，即
.
綜上可得當
時，“
”是“
成立”的充要條件.
此時
.
令
，
則
，
令
，得
.
故當
時， 
；
當
時， 
，
所以
的最大值為
，
當且僅當
， 
時，取等號，
故
的最大值為
.
華東師大版一課一練系列答案
孟建平名校考卷系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N*總有2Sn＝an2+n，且an＜an+1.若對任意n∈N*，θ∈R，不等式
λ（n+2）恒成立，求實數(shù)λ的最小值( )
A.1
B.2C.1D.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其導函數(shù)
的圖象如圖所示，過點
和
（Ⅰ）求函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間和極大值點；
（Ⅱ）求實數(shù)
的值；
（Ⅲ）若恰有兩個零點，請直接寫出
的值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，且
時
有極大值
.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若
為的導函數(shù)，不等式
（
為正整數(shù)）對任意正實數(shù)
恒成立，求的最大值.（注：
）.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐
中，平面
平面
，
為等邊三角形，
，且
，O，M分別為
，
的中點．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）設
是線段
上一點，滿足平面
平面
，試說明點的位置；
（Ⅲ）求三棱錐的體積．
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