Question

給出下面的數表序列：

其中表n（n=1，2，3 …）有n行，第1行的n個數是1，3，5，…2n-1，從第2行起，每行中的每個數都等于它肩上的兩數之和．
（I）寫出表4，驗證表4各行中數的平均數按從上到下的順序構成等比數列，并將結論推廣到表n（n≥3）（不要求證明）；
（II）每個數列中最后一行都只有一個數，它們構成數列1，4，12…，記此數列為{b_n}求和：

b3

b1b2

+

b4

b2b3

+…

bn+2

bnbn+1

（n∈N⁺）

Answer 1

分析：（1）根據表1，表2，表3的規律可寫出表4，然后求出各行的平均數，可確定等比數列的首項和公比，進而推廣到n．
（2）先求出表n的首項的平均數，進而可確定它的各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為n，公比為2的等比數列，進而得到表中最后一行的數b_n=n•2^n-1，再化簡通項

bk+2

bkbk+1

，最后根據裂項法求和．

解答：解：（I）表4為
1   3   5   7
4   8  12
12  20
32
它的第1，2，3，4行中的數的平均數分別是4，8，16，32，它們構成首項為4，公比為2的等比數列
將這一結論推廣到表n（n≥3），即
表n（n≥3）各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為n，公比為2的等比數列．
（II）表n的第1行是1，3，5，…，2n-1，其平均數是

1+3+5+…+(2n-1)

n

=n
由（I）知，它的各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為n，公比為2的等比數列（從而它的第k行中數的平均數是
n•2^k-1），于是，表中最后一行的唯一一個數為b_n=n•2^n-1．
因此

bk+2

bkbk+1

=

(k+2)2k+1

k•2k-1•(k+1)•2k

=

k+2

k(k+1)•2k-2

=

2(k+1)-k

k(k+1)•2k-2

=

1

k•2k-3

-

1

(k+1)•2k-2

（k=1，2，…，n）
故

b3

b1b2

+

b4

b2b3

+…+

bn+2

bnbn+1

=（

1

1×2-2

-

1

2×2-1

）+（

1

2×2-1

-

1

3×20

）+…+[

1

n×2n-3

-

1

(n+1)×2n-2

]
=

1

1×2-2

-

1

(n+1)×2n-2

=4-

1

(n+1)×2n-2

．

點評：本題主要考查數列求和和等比數列的性質．數列求和是高考的必考點，一般有公式法、裂項法、錯位相減法等，都要熟練掌握．