Question

已知關于x不等式x²-2ax+a+2≤0（a∈R）的解集為M．
（1）當M為空集時，求實數a的取值范圍；
（2）如果M⊆[1，4]，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）∵M為空集，
∴△=4a²-4（a+2）＜0，即a²-a-2＜0
∴實數a的取值范圍為（-1，2）
（2）f（x）=x²-2ax+a+2=（x-a）²-a²+a+2，
①當M為空集，由（1）可得：a∈（-1，2）時，M⊆[1，4]．
②當M不為空集時，
∵M⊆[1，4]
∴

f(1)≥0 f(4)≥0 1≤a≤4

即

3-a≥0 18-7a≥0 1≤a≤4

，
解得1≤a≤

18

7

．
∴實數a的取值范圍為[1，

18

7

]．
綜上得實數a的取值范[-1，

18

7

]．