Question

【題目】已知函數f（x）= x2﹣alnx（a∈R）
（1）若函數f（x）在x=2處的切線方程為y=x+b，求a，b的值；
（2）討論方程f（x）=0解的個數，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為： （x＞0），又f（x）在x=2處的切線方程為y=x+b

所以 解得：a=2，b=﹣2ln2

（2）解：當a=0時，f（x）在定義域（0，+∞）上恒大于0，此時方程無解；

當a＜0時， 在（0，+∞）上恒成立，

所以f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數．∵ ， ，所以方程有惟一解．

當a＞0時，

因為當 時，f'（x）＞0，f（x）在 內為減函數；

當 時，f（x）在 內為增函數．

所以當 時，有極小值即為最小值

當a∈（0，e）時， ，此方程無解；

當a=e時， ．此方程有惟一解 ．

當a∈（e，+∞）時， ，

因為 且 ，所以方程f（x）=0在區間 上有惟一解，

因為當x＞1時，（x﹣lnx）'＞0，所以x﹣lnx＞1，

所以， ，

因為 ，所以 ，

所以 方程f（x）=0在區間 上有惟一解．

所以方程f（x）=0在區間（e，+∞）上有惟兩解．

綜上所述：當a∈[0，e）時，方程無解；

當a＜0或a=e時，方程有惟一解；

當a＞e時方程有兩解．

【解析】（1）求出導函數，利用f（x）在x=2處的切線方程為y=x+b，列出方程組求解a，b．（2）通過a=0，a＜0，判斷方程的解．a＞0，求出函數的導數判斷函數的單調性，求出極小值，分析出當a∈[0，e）時，方程無解；當a＜0或a=e時，方程有惟一解；當a＞e時方程有兩解．