Question

21、如圖所示，一個計算裝置示意圖．J₁、J₂是數據入口，C 是計算結果的出口．計算過程是：由J₁、J₂ 分別輸入自然數m和n，經過計算所得結果由出口C輸出k，即：f（m，n）=k．此種計算裝置滿足以下三個性質：①f（1，1）=1；②f（m，n+1）=f（m，n）+2；③f（m+1，1）=2f（m，1）．
試問：①若 J₁輸入5，J₂輸入7，則輸出結果為多少？
②若 J₁輸入m，J₂輸入自然數n，則C輸出結果為多少？
③若C輸出結果為100，求：共有哪幾種輸入方案？

Answer 1

分析：①若 J₁輸入5，J₂輸入7，則輸出結果為f（5，7）的值．
②若 J₁輸入m，J₂輸入自然數n，則C輸出結果為多少？就是求f（m，n）的值．f（m，1）看作是數列的首項，f（m，n+1）=f（m，n）+2，這里n+1，n相當于數列的項數，2相當于數列的公差．因此可看作是等差數列．同理，把f（1，1）=1看作是數列首項，f（m+1，1）=2f（m，1），這里m+1，m相當于等比數列的項數，2是公比由等差數列，等比數列通項公式即可求得．
③若C輸出結果為100，求：共有哪幾種輸入方案？由上一問知道f（m，n）=f（m，1）+2（n-1）=2^m-1+2n-2=100求m，n，就是求方程的不定整數解，要逐一討論，求得．

解答：解：①f（5，7）=f（5，1）+2×（7-1）=f（1，1）×2^5-1+12=1×2⁴+12=28；   
②f（1，n+1）=f（1，n）+2?等差數列；
f（1，n）=f（1，1）+2（n-1）=2n-1； f（m+1，1）=2f（m，1）?等比數列；
f（m，1）=f（1，1）×2^m-1=2^m-1；f（m，n+1）=f（m，n）+2；
則f（m，n）=f（m，1）+2（n-1）=2^m-1+2n-2
③由2^m-1+2n-2=100，得2^m+4n=204，則：因為m，n是自然數，所以（m，n）=（2，50）、（3，49）、（4，47）、（5，43）、（6，35）、（7，19）共6種輸入方案

點評：本題解題的思想是類比特征，看作是數列問題，利用數列知識求解．