Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是棱AB的中點，過A₁，M，C三點的平面與CD所成角正弦值（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3

  2

• C．

  2

  4

• D．

  6

  3

Answer 1

分析：先做B₁E⊥平面A₁MC與E，根據DC∥A₁B₁得到∠B₁A₁E為所求；然后通過體積相等求出B₁E的長，即可求出答案．

解答：解：做B₁E⊥平面A₁MC與E
設B₁E=h
∵DC∥A₁B₁，則∠B₁A₁E為所求的線面角；
設此正方體所有棱邊長為1．
如圖，因為M是棱AB的中點，
所以：CM=

CB 2+AM 2

=

5

2

，同理A₁M=

5

2

，
而CA₁=

3

AB=

3

．
∴在等腰三角形A₁MC中底邊A₁C邊上的高為

2

2

．
∴S△A1MC=

1

2

×

2

2

×

3

=

6

4

；
∵VB1-A1MC=VC-A1B1 M
∴

1

3

•h•S△A1MC=

1

3

•BC•S△A1B1C
∴

1

3

•h•

6

4

=

1

3

×1×

1

2

×1×1⇒h=

2

6

=

6

3

．
∴sin∠B₁A₁E=

B1E

A1B1

=

6

3

．
即過A₁，M，C三點的平面與CD所成角正弦值為：

6

3

．
故選：D．

點評：本題主要考察直線與平面所成的角．解決本題的關鍵在于通過DC∥A₁B₁把問題轉化為求∠B₁A₁E．