Question

橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)與拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的一個交點為M．拋物線C₂在點M處的切線過橢圓C₁的右焦點F．
（1）若M(2，

2 5

5

)，求C₁和C₂的標準方程；
（II）若b=1，求p關于a的函數表達式p=f（a）．

Answer 1

（1）把M(2，

2 5

5

)代入C₂：x²=2py（p＞0）得p=

5

，故C₂：x2=2

5

y…（2分）
由y=

5

10

x2得y′=

5

5

x，從而C₂在點M處的切線方程為y-

2 5

5

=

2 5

5

(x-2)…（4分）
令y=0有x=1，F（1，0），…（5分）
又M在(2，

2 5

5

)橢圓C₁上
所以

4 a2 + 4 5b2 =1 a2-b2=1

，解得a²=5，b²=4，故C₁：

x2

5

+

y2

4

=1…（7分）
（2）設M(x0，

1

2p

x02)，由y=

1

2p

x2得y′=

1

p

x，
從而C₂在點M處的切線方程為y-

x02

2p

=

x0

p

(x-x0)…（9分）
設F（c，0），代入上式得x₀=2c，
因為

x02

a2

+

y02

b2

=1，所以y02=b2(1-

x02

a2

)=b2(1-

4c2

a2

)=

b2

a2

(4b2-3a2)…（11分）
又x₀²=2py₀，所以p=

x02

2y0

=

2c2

b a 4b2-3a2

=

2a(a2-b2)

b 4b2-3a2

=

2a(a2-1)

4-3a2

，…（13分）
結合a＞b知1＜a＜

2 3

3

，所以p=f（a）=

2a(a2-1)

4-3a2

（1＜a＜

2 3

3

）．…（14分）