Question

（本小題滿分12分）
設數列的前n項和為且方程有一根為，n=1,2,3…,試求的值，猜想的表達式，并用數學歸納法加以證明

Answer 1

由，
當n=2時，由①得 ，
當n=3時，由①得  ，
猜想  n="1,2,3…" 證明見解析。

本試題主要是考查了數列的前n項和的表達式的求解和證明的綜合運用。
（1）根據已知條件，對n令值，得到前幾項的和，然后歸納猜想。
（2）運用數學歸納法加以證明，分為兩步驟，注意要用到假設。
證明：             
當n=1時，  
當n≥2時，，
代入（*）式得①            ……（3分）
當n=2時，由①得    ……（4分）
當n=3時，由①得    ……（5分）
可以看到上面表示的三個結果的分數中，分子與項數一致，分母是項數加1，
由此猜想  n=1,2,3…             ……（6分）
下面用數學歸納法證明這個猜想：
（1）當n=1時已知猜想成立                        ……（7分）
（2）假設n=k時猜想成立，即
則當n=k+1時，由①得
這就是說，當n=k+1時，猜想也成立             ……（10分）
根據（1）和（2），可知對所有正整數n都成立  ……（12分）