Question

設f0(x)=x•ex，f₁（x）=f′₀（x），f₂（x）=f′₁（x），…，f_n（x）=f′_n-1（x）（n∈N⁺）．
（1）請寫出f_n（x）的表達式（不需證明）；
（2）求f_n（x）的極小值；
（3）設gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，g_n（x）的最大值為a，f_n（x）的最小值為b，求a-b的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據題意依次寫出f₁（x），f₂（x），f₃（x），…，根據體現的規律性，猜想出f_n（x）的表達式；
（2）求出當函數f′n(x)=(x+n+1)•ex，令導函數等于0，取出x的值，判斷x左右的單調性，即可求得f_n（x）的極小值；
（3）根據二次函數求出g_n（x）的最大值為a，根據（2）可知f_n（x）的最小值為b，則a-b=（n-3）²+e^-（n+1），利用數列的單調性，確定出a-b的最小值．

解答：解：（1）由題意可得，f1(x)=(x+1)•ex，f2(x)=(x+2)•ex，f3(x)=(x+3)•ex，…，
猜測出f_n（x）的表達式fn(x)=(x+n)•ex (n∈N*)．
（2）由（1）可知，fn(x)=(x+n)•ex (n∈N*)，
∴f′n(x)=(x+n+1)•ex，
令f′_n（x）=0，解得x=-（n+1），
∵當x＞-（n+1）時，f'_n（x）＞0，當x＜-（n+1）時，f'_n（x）＜0，
∴當x=-（n+1）時，f_n（x）取得極小值fn(-(n+1))=-e-(n+1)，
即f_n（x）的極小值為yn=-e-(n+1)  (n∈N*)．
（3）∵gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，
∴當x=-（n+1）時，g_n（x）取最大值，即a=gn(-(n+1))=(n-3)2，
又∵b=fn(-(n+1))=-e-(n+1)，
∴a-b=（n-3）²+e^-（n+1），
問題轉化為求cn=(n-3)2+e-(n+1)的最小值．
解法1（構造函數）：
令h（x）=（x-3）²+e^-（x+1）（x≥0），
則h'（x）=2（x-3）-e^-（x+1），又h（x）在區間[0，+∞）上單調遞增，
∴h'（x）≥h'（0）=-6-e^-1，
又∵h'（3）=-e^-4＜0，h'（4）=2-e^-5＞0，
∴存在x₀∈（3，4）使得h'（x₀）=0，
又h'（x）在區間[0，+∞）上單調遞增，
∴0≤x＜x₀時，h'（x₀）＜0，當x＞x₀時，h'（x₀）＞0，
即h（x）在區間[x₀，+∞）上單調遞增，在區間[0，x₀）上單調遞減，
∴（h（x））_min=h（x₀）．
又∵h（3）=e^-4，h（4）=1+e^-5，則h（4）＞h（3），
∴當n=3時，a-b取得最小值e^-4′．
解法2（利用數列的單調性）：
∵cn+1-cn=2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

，
∴當n≥3時，2n-5≥1，

1

en+2

＞0，

1

en+1

＜1，
∴2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

＞0，
∴c_n+1＞c_n．
∵c1=4+

1

e2

，c2=1+

1

e3

，c3=

1

e4

，c₁＞c₂＞c₃，
∴當n=3時，a-b取得最小值e^-4．

點評：本題考察了導數與數列的綜合應用，涉及了求函數的極小值和最小值．同時考查了二次函數的求最值問題，二次函數的最值問題要考慮拋物線的開口方向和對稱軸的位置關系．對于數列問題的最值，一般應用數列的單調性進行研究．屬于中檔題．