Question

已知函數f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)．

(1)求函數y＝f(x)的定義域；

(2)在函數y＝f(x)的圖象上是否存在不同的兩點，使過此兩點的直線平行于x軸；

(3)當a、b滿足什么關系時，f(x)在區間上恒取正值．

 

Answer 1

（1）(0，＋∞)（2）不存在（3）a≥b＋1

【解析】(1)由ax－bx>0，得x>1，因為a>1>b>0，所以>1，所以x>0，即函數f(x)的定義域為(0，＋∞)．

(2)設x1>x2>0，因為a>1>b>0，所以ax1>ax2，bx1<bx2，則－bx1>－bx2，所以ax1－bx1>ax2－bx2>0，于是lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)，即f(x1)>f(x2)，因此函數f(x)在區間(0，＋∞)上是增函數．假設函數y＝f(x)的圖象上存在不同的兩點A(x1，y1)、B(x2，y2)，使得直線AB平行于x軸，即x1≠x2，y1＝y2，這與f(x)是增函數矛盾．故函數y＝f(x)的圖象上不存在不同的兩點，使過此兩點的直線平行于x軸．

(3)由(2)知，f(x)在區間(1，＋∞)上是增函數，所以當x∈(1，＋∞)時，f(x)>f(1)，故只需f(1)≥0，即lg(a－b)≥0，即a－b≥1，所以當a≥b＋1時，f(x)在區間(1，＋∞)上恒取正值．