Question

已知定義在實數集上的奇函數（、）過已知點．
（Ⅰ）求函數的解析式；
（Ⅱ）試證明函數在區間是增函數；若函數在區間（其中）也是增函數，求的最小值；
（Ⅲ）試討論這個函數的單調性，并求它的最大值、最小值，在給出的坐標系（見答題卡）中畫出能體現主要特征的圖簡；
（Ⅳ）求不等式的解集．

Answer 1

（1）；（2）用定義法證明，的最小值為．（3），．（4）。

試題分析：（1）由奇函數得，得，又過點得；所以，顯然可以發現它是一個奇函數．    （3分）
（2）設，有，
這樣就有，
即函數在區間是增函數
對于函數在區間（）也是增函數，
設，有；
這樣，欲使成立，
須使成立，從而只要就可以，所以，就能使函數在區間是增函數；的最小值為．   （3分）
（3）由（2）可知函數在區間是增函數；
由奇函數可知道，函數在區間也是增函數；
那么，在區間呢？設，有；這樣，就有成立，即，所以，函數在區間是減函數．                                 
這樣，就有，．
圖像如下所示．  （3分）
（4）因為，，由（3）知道函數在區間是減函數，這樣，不等式可以化為，即；    
它的解集為．   （3分）

點評：（1）若f(x)是奇函數，且在x=0處有定義，則f(0)一定為0.（2）用定義法證明函數的單調性的步驟：一設二作差三變形四判斷符號五得出結論，其中最重要的是四變形，最好變成幾個因式乘積的形式，這樣便于判斷符號。（3）解這類不等式的關鍵是根據函數的單調性脫去“f”號。