Question

已知函數f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x．
（1）將f（x）的解析基本功化成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求函數f（x）圖象離y軸最近的對稱軸的方程；
（2）求函數f(x)在區間[0，

π

2

]內的值域．

Answer 1

分析：（1）先根據二倍角公式與和角公式化簡解析式，再由正弦函數的對稱性求其對稱軸即可
（2）借助（1）中化簡后的解析式，利用正弦函數的單調性求函數f(x)在區間[0，

π

2

]的值域即可

解答：解：（1）由題意f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x=1+sin2x-

3

cos2x=1+2sin（2x-

π

3

）
 令2x-

π

3

=kπ+

π

2

，得x=

kπ

2

+

5π

12

，當k=-1時，|x|的值最小，
故函數f（x）圖象離y軸最近的對稱軸的方程是x=-

π

12

（2）當x∈[0，

π

2

]時2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，2sin（2x-

π

3

）∈[-

3

，2]
 故函數f(x)在區間[0，

π

2

]內的值域為[1-

3

，3]

點評：本題考點是三角函數的恒等變換以及正弦函數的對稱性、正弦函數的單調性，屬于三角函數性質的基本運用題，解答本題要注意三角函數值域的求法步驟．