Question

(本題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=x³+ax²+(a+6)x+b(a,b∈R).

(1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是3，求a,b的值；

(2) 若f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn)，得b=0, ………………………………1分

又f′(x)=3x²+2ax+(a+6), …………………………………………………3分

f(x)在原點(diǎn)處的切線斜率是3，則a+6=3,所以a=-3. ………………………6分

（2）若f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則f′(x) 在R上恒成立.

即3x²+2ax+(a+6)≥0在R上恒成立，………………………………………8分

因此Δ≤0，有4a²-12(a+6) ≤0    ………………………………………10分

即a²-3a-18 ≤0解得……………………………………………12分

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)P（1，2）與函數(shù)圖象在點(diǎn)P處的切線斜率為8，建立關(guān)于a和b的方程組，解之即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x），f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)則令f'（x）0即可求出a的范圍．

考點(diǎn)：本試題主要考查了導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查了分析與解決問題的綜合能力，屬于基礎(chǔ)題。

點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵對于導(dǎo)數(shù)幾何意義的運(yùn)用和單調(diào)遞增時(shí)要滿足到導(dǎo)函數(shù)恒大于等于零來得到。