Question

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD為菱形，A1A=AB=2，∠ABC= ，E，F(xiàn)分別是BC，A1C的中點(diǎn)．
（1）求異面直線EF，AD所成角的余弦值；
（2）點(diǎn)M在線段A1D上， =λ．若CM∥平面AEF，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)樗睦庵鵄BCD﹣A1B1C1D1為直四棱柱，

所以A1A⊥平面ABCD．

又AE平面ABCD，AD平面ABCD，

所以A1A⊥AE，A1A⊥AD．

在菱形ABCD中∠ABC= ，則△ABC是等邊三角形．

因?yàn)镋是BC中點(diǎn)，所以BC⊥AE．

因?yàn)锽C∥AD，所以AE⊥AD．

建立空間直角坐標(biāo)系．則A（0，0，0），C（ ，1，0），D（0，2，0），

A1（0，0，2），E（ ，0，0），F(xiàn)（ ， ，1）．

=（0，2，0）， =（﹣ ， ，1），

所以異面直線EF，AD所成角的余弦值為 =

（2）解：設(shè)M（x，y，z），由于點(diǎn)M在線段A1D上，且 =λ，

則（x，y，z﹣2）=λ（0，2，﹣2）．

則M（0，2λ，2﹣2λ）， =（﹣ ，2λ﹣1，2﹣2λ）．

設(shè)平面AEF的法向量為 =（x0，y0，z0）．

因?yàn)? =（ ，0，0）， =（ ， ，1），

由 ，得x0=0， y0+z0=0．

取y0=2，則z0=﹣1，

則平面AEF的一個(gè)法向量為n=（0，2，﹣1）

由于CM∥平面AEF，則 =0，即2（2λ﹣1）﹣（2﹣2λ）=0，解得λ= ．

【解析】（1）建立坐標(biāo)系，求出直線的向量坐標(biāo)，利用夾角公式求異面直線EF，AD所成角的余弦值；（2）點(diǎn)M在線段A1D上， =λ．求出平面AEF的法向量，利用CM∥平面AEF，即可求實(shí)數(shù)λ的值．
【考點(diǎn)精析】掌握異面直線及其所成的角和直線與平面平行的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行．