Question

【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱BB1⊥底面A1B1C1 ， D為AC 的中點，A1B1=BB1=2，A1C1=BC1 ， ∠A1C1B=60°．
（Ⅰ）求證：AB1∥平面BDC1；
（Ⅱ）求多面體A1B1C1DBA的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：連B1C交BC1于O，連接OD，在△CAB1中，O，D分別是B1C，AC的中點，∴OD∥AB1 ， 而AB1平面BDC1 ， OD平面BDC1 ， ∴AB1∥平面BDC1；
（Ⅱ）解：連接A1B，作BC的中點E，連接DE，

∵A1C1=BC1 ， ∠A1C1B=60°，
∴△A1C1B為等邊三角形，
∵側棱BB1⊥底面A1B1C1 ，
∴BB1⊥A1B1 ， BB1⊥B1C1 ，
∴A1C1=BC1=A1B=2 ，
∴B1C1=2，
∴A1C12=B1C12+A1B12 ，
∴∠A1B1C1=90°，∴A1B1⊥B1C1 ，
∴A1B1⊥平面B1C1CB，
∵DE∥AB∥A1B1 ，
∴DE⊥平面B1C1CB，
∴DE是三棱錐D﹣BCC1的高，
∴ = = ，
∴多面體A1B1C1DBA的體積V= ﹣ =（ ）×2﹣ = ．
【解析】（Ⅰ）證明AB1∥平面BDC1 ， 證明OD∥AB1即可；（Ⅱ）利用割補法，即可求多面體A1B1C1DBA的體積．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．