Question

若函數f（x）對于任意的兩個不相等的實數x₁，x₂∈A都有0＜

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜1成立，則稱f（x）在區間A上為“0-1函數”．則下列函數在定義域上為“0-1函數”的有

 

（請填寫相應的序號）．
（1）y=sinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]；
（2）y=lnx，x＞1；
（3）y=e^x，x∈R；
（4）y=x²+2x+3，0＜x＜1．

Answer 1

分析：根據定義可知滿足有0＜

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜1成立的函數的割線斜率k∈（0，1），即可．

解答：解：（1）若y=sinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，則y'=cosx∈[0，1]，不滿足條件，∴不是[0，1]上的“0-1函數”．
（2）若y=lnx，x＞1，則y'=

1

x

，∵x＞1，∴y'=

1

x

∈（0，1），滿足條件，是區間（1，+∞）上的“0-1函數”．
（3）若y=e^x，x∈R，則y'=e^x＞0，條件不滿足，∴不是R“0-1函數”．
（4）若y=x²+2x+3，0＜x＜1．則y'=2x+2∈（2，4），不滿足條件，∴不是（0，1）上的“0-1函數”．
故答案為：（2）

點評：本題主要考查函數的新定義，實質是割線的斜率，利用導數的幾何意義即可得到結論．