Question

【題目】在四菱錐P﹣ABCD中，PA⊥AD，PA=1，PC=PD，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=BC=1，CD=2．
（I）求證：PA⊥AB；
（II）求直線AD與平面PCD所成角的大小．

Answer 1

【答案】證明：（I）取CD的中點(diǎn)E，連接AE，PE，則AE⊥CD，PE⊥CD， ∵AE∩PE=E，∴CD⊥平面PAE．
∵PA平面PAE，∴CD⊥PA，
∵PA⊥AD，AD∩CD=D，
∴PA⊥平面ABCD，
∵AB平面ABCD，
∴PA⊥AB；
（II）解：由題意，AD=PE= ．
設(shè)A到平面PCD的距離為h，則由等體積可得 = ，
∴h=
∴直線AD與平面PCD所成角的正弦值為 = ，大小為30°．

【解析】（I）取CD的中點(diǎn)E，連接AE，PE，則AE⊥CD，PE⊥CD，證明PA⊥平面ABCD，即可證明：PA⊥AB；（II）求出A到平面PCD的距離，即可求直線AD與平面PCD所成角的大小．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面垂直的性質(zhì)和空間角的異面直線所成的角，需要了解垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能得出正確答案．