【題目】已知定義域為
的函數
是奇函數
（Ⅰ）求
值；
（Ⅱ）判斷并證明該函數在定義域
上的單調性；
（Ⅲ）若對任意的
，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；
（Ⅳ）設關于
的函數
有零點，求實數
的取值范圍.
【答案】(Ⅰ) 
；(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ) 
（Ⅳ）
.
【解析】試題分析：（1）根據奇函數性質得
，解得
值；（2）根據單調性定義，作差通分，根據指數函數單調性確定因子符號，最后根據差的符號確定單調性（3）根據奇偶性以及單調性將不等式化為一元二次不等式恒成立問題，利用判別式求實數
的取值范圍；（4）根據奇偶性以及單調性將方程轉化為一元二次方程有解問題，根據二次函數圖像與性質求值域，即得實數
的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）由題設，需
，∴
，∴
，
經驗證， 
為奇函數，∴
.
（Ⅱ）減函數
證明：任取
， 
，且
，則
，
∵
∴
∴
， 
；
∴
，即
∴該函數在定義域
上是減函數.
（Ⅲ）由
得
，
∵
是奇函數，∴
，
由（Ⅱ）知， 
是減函數
∴原問題轉化為
，即
對任意
恒成立，
∴
，得
即為所求.
（Ⅳ）原函數零點的問題等價于方程
由（Ⅱ）知， 
，即方程
有解
∵
，
∴當
時函數存在零點.
點睛:利用函數性質解不等式：首先根據函數的性質把不等式轉化為
的形式，然后根據函數的單調性去掉“
”，轉化為具體的不等式(組)，此時要注意
與
的取值應在外層函數的定義域內.
新思維假期作業暑假吉林大學出版社系列答案
藍天教育暑假優化學習系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，正四棱錐
中， 
是正方形， 
是正方形的中心， 
底面
， 
是
的中點．
(I)證明： 
平面
；
(II)證明：平面
平面
；
(III)已知： 
，求點
到面
的距離．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產地產卵，研究鮭魚的科學家發現鮭魚的游速
（單位： 
）與其耗氧量單位數
之間的關系可以表示為函數
，其中
為常數，已知一條鮭魚在靜止時的耗氧量為100個單位；而當它的游速為
時，其耗氧量為2700個單位.
（1）求出游速
與其耗氧量單位數
之間的函數解析式；
（2）求當一條鮭魚的游速不高于
時，其耗氧量至多需要多少個單位？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面ABB1A1為矩形，AB=2，AA1=2 
，D是AA1的中點，BD與AB1交于點O，且CO⊥平面ABB1A1 ． 
（1）證明：CD⊥AB1；
（2）若OC=OA，求直線CD與平面ABC所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若函數f(x)滿足：對于s，t∈[0，+∞），都有f(s)≥0，f(t)≥0，且f(s)+f(t)≤f(s+t)，則稱函數f (x)為“T函數”．
(I)試判斷函數f1(x)=x2與f2(x)=lg(x+1)是否是“T函數”，并說明理由；
(Ⅱ)設f (x)為“T函數”，且存在x0∈[0，+∞)，使f(f(x0))=x0.求證：f (x0) =x0；
(Ⅲ)試寫出一個“T函數”f(x)，滿足f(1)=1，且使集合{y|y=f(x)，0≤x≤1)中元素的個數最少．（只需寫出結論）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設F1 ， F2分別是C： 
+ 
=1（a＞b＞0）的左，右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N．
（1）若直線MN的斜率為 
，求C的離心率；
（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩家商場對同一種商品開展促銷活動，對購買該商品的顧客兩家商場的獎勵方案如下：
甲商場：顧客轉動如圖所示圓盤，當指針指向陰影部分(圖中四個陰影部分均為扇形，且每個扇形圓心角均為
，邊界忽略不計)即為中獎.
乙商場：從裝有3個白球3個紅球的盒子中一次性摸出2個球(球除顏色外不加區分)，如果摸到的是2個紅球，即為中獎.問：購買該商品的顧客在哪家商場中獎的可能性大？
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