Question

【題目】如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=1，AE⊥平面CDE， ，F為線段DE上的一點．

（1）求證：平面AED⊥平面ABCD；
（2）若二面角E﹣BC﹣F與二面角F﹣BC﹣D的大小相等，求DF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AE⊥面CDE，CD面CDE，

∴AE⊥CD，

又∴ 是矩形，

∴AD⊥CD，∴CD⊥面AED，

又∵CD面ABCD，

∴平面AED⊥平面ABCD．

（2）解：取AD，BC的中點G，H，

連結EG，GH，EH，過F作FM||EG交AD于M，

過M作NM||HG交BC于N，連結FN，

∵ ，∴ 且EG⊥AD，

∵平面AED⊥平面ABCD，∴EG⊥面ABCD，GH⊥BC，

∴EH⊥BC，∴∠EHG就是二面角E﹣BC﹣D的平面角，

同理∠FNM就是二面角F﹣BC﹣D的平面角，

由題意得∠EHG=2∠FNM，

而 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

【解析】（1）推導出AE⊥CD，AD⊥CD，從而CD⊥面AED，由此能證明平面AED⊥平面ABCD．（2）取AD，BC的中點G，H，連結EG，GH，EH，過F作FM||EG交AD于M，過M作NM||HG交BC于N，連結FN，推導出∠EHG就是二面角E﹣BC﹣D的平面角，∠FNM就是二面角F﹣BC﹣D的平面角，由此能求出DF的長．
【考點精析】關于本題考查的平面與平面垂直的判定，需要了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．