Question

【題目】若是各項均為正數的數列的前項和，且.

（1）求的值；

（2）設，且數列的前項和滿足對任意正整數恒成立，求實數的取值范圍；

（3）設，問：是否存在正整數，使得對一切正整數恒成立？若存在，請求出實數的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）存在，

【解析】

（1）令，可求出，令，可求出，進而可求得的值；

（2）先求出的表達式，進而可求出的表達式，再結合，可求出，并得到，從而可知，即可求出的取值范圍；

（3）由，可知當時，，當時，，從而可知時，對一切正整數恒成立.

（1）當時，，解得，

因為數列各項均為正數，所以.

當時，，又，解得，

由，解得.

（2）因為，

所以，又，所以.

當時，，

當時，.

時也符合上式，所以.

則，

所以.

所以，解得或.

（3）因為，

所以.

當時，，所以，

當時，，所以.

所以時，對一切正整數恒成立.