Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，底面是正形，，為的中點．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）推導出DE⊥PC，BC⊥CD，BC⊥PD，從而BC⊥平面PCD，進而DE⊥BC，由此能證明DE⊥平面PCB.
（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角EDBP的余弦值.

解：（1）證明：∵在四棱錐PABCD中，PD⊥平面ABCD，
底面ABCD是正方形，PD＝AB，E為PC的中點，
∴DE⊥PC，BC⊥CD，BC⊥PD，
∵PD∩CD＝D，

∴BC⊥平面PCD，
∵DE平面PCD，

∴DE⊥BC，
∵PC∩BC＝C，

∴DE⊥平面PCB；
（2）解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，
設PD＝AB＝2，

則E（0，1，1），B（2，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），
，
設平面BDE的法向量，
則，取，得，
設平面BDP的法向量，
則，取，得，
設二面角EBDP的平面角為θ.
則.
∴二面角EBDP的余弦值為.