Question

已知二次函數f（t）=at²-

b

t+

1

4a

（t∈R）有最大值，且最大值為正實數，集合A={x|

x-a

x

＜0}，集合B={x|x²＜b²}
（1）求集合A和B；
（2）定義：“A-B={x∈A，且x∉B}”設a，b，x均為整數，且x∈A．記P（E）為x取自集合A-B的概率，P（F）x取集合A∩B的概率．已知P（E）=

2

3

，P（F）=

1

3

．記滿足上述條件的所有a的值從小到大排列構成的數列為{a_n}，所有b的值從小到大排列構成數列{b_n}．
①求a₁，a₂，a₃和b₁，b₂，b₃；
②請寫出數列{a_n}和{b_n}的通項公式（不必證明）；
③如果在函數中f（t）中，a=a_n，b=b_n，記f（t）的最大值為g（n），c_n=

1-12g(n)

4g(n)

，S_n=c₁c₂+c₂c₃+…+c_nc_n+1，求證：S_n＜1．

Answer 1

分析：（1）由f（t）有最大值，知a＜0．由f（t）_max=

1-b

4a

得b＞1，由此能求出集合A和B．
（2）①因為P（E）=

2

3

，P（F）=

1

3

，再由A中整數的個數，分別求出a₁，a₂，a₃和b₁，b₂，b₃．
②a_n=-3n-1，b_n=n+1．
③由g（n）=

1-bn

4an

=

n

4(3n+1)

，知c_n=

1-12g(n)

4g(n)

=

1

n

，由此能夠證明S_n＜1．

解答：解：（1）∵f（t）有最大值，∴a＜0．
由f（t）_max=

1-b

4a

得b＞1，（2分）
故A={x|a＜x＜0}，B={x|-b＜x＜b}（4分）
（2）①因為P（E）=

2

3

，P（F）=

1

3

所以考慮一下情形：
當A中有3個整數時，A-B中有2個，A∩B中有1個，則a=-4，b=2；
當A中有6個整數時，A-B中有4個，A∩B中有2個，則a=-7，b=3；
當A中有9個整數時，A-B中有6個，A∩B中有3個，則a=-10，b=4；
故a₁=-4，a₂=-7，a₃=-10；b₁=2，b₂=3，b₃=4（7分）
②a_n=-3n-1，b_n=n+1（19分）
③∵g（n）=

1-bn

4an

=

n

4(3n+1)

，∴c_n=

1-12g(n)

4g(n)

=

1

n

，
∴c_nc_n+1=

1

n

×

1

n+1

=

1

n

-

1

n+1

，∴S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）++（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

＜1
（13分）

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細求解，注意公式的合理運用．