Question

（2012•湖南）函數f（x）=sin （ωx+φ）的導函數y=f′（x）的部分圖象如圖所示，其中，P為圖象與y軸的交點，A，C為圖象與x軸的兩個交點，B為圖象的最低點．
（1）若φ=

π

6

，點P的坐標為（0，

3 3

2

），則ω=

3

；
（2）若在曲線段

ABC

與x軸所圍成的區域內隨機取一點，則該點在△ABC內的概率為

π

4

．

Answer 1

分析：（1）先利用導數的運算性質，求函數f（x）的導函數f′（x），再將φ=

π

6

，f′（0）=

3 3

2

代入導函數解析式，即可解得ω的值；
（2）先利用定積分的幾何意義，求曲線段

ABC

與x軸所圍成的區域面積，再求三角形ABC的面積，最后利用幾何概型概率計算公式求面積之比即可得所求概率

解答：解：（1）∵函數f（x）=sin （ωx+φ）的導函數y=f′（x）=ωcos（ωx+φ），其中φ=

π

6

，過點P（0，

3 3

2

），
∴ωcos

π

6

=

3 3

2

∴ω=3
故答案為 3
（2）∵f′（x）=ωcos（ωx+φ），
∴曲線段

ABC

與x軸所圍成的區域面積為

∫	3π 2 -φ ω π 2 -φ ω

[-f′（x）]dx=-f（x）

|	3π 2 -φ ω π 2 -φ ω

=-sin

3π

2

-（-sin

π

2

）=2
三角形ABC的面積為

ω× π ω

2

=

π

2

∴在曲線段

ABC

與x軸所圍成的區域內隨機取一點，則該點在△ABC內的概率為P=

π 2

2

=

π

4

故答案為

π

4

點評：本題主要考查了f（x）=Asin （ωx+φ）型函數的圖象和性質，導數運算及導函數與原函數的關系，定積分的幾何意義，幾何概型概率的計算方法，屬基礎題