Question

如圖，已知四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1，沿AC將△ABC折起，使點B到點P的位置，且平面PAC⊥平面ACD．
（I）證明：DC⊥平面APC；
（II）求棱錐A-PBC的高．

Answer 1

分析：（I）利用∠ABC=90°，AB=BC=1，求出AC，通過說明AC²+CD²=AD²，證明DC⊥平面APC；
（II）過P作PH⊥AC于H，則PH⊥平面ABC，且H為AC的中點，連接BH，設棱錐A-PBC的高為h，利用V_A-PBC=V_P-ABC，求棱錐A-PBC的高

解答：解：（Ⅰ）證明：∵∠ABC=90°，AB=BC=1，∴AC=

2

．
又∵四邊形ABCD為直角梯形，AD=2，AB=BC=1，∴CD=

2

，
∵AC²+CD²=AD²，∴∠ACD=90°．
∵平面PAC⊥平面ACD．
∴DC⊥平面APC．
（Ⅱ）解：過P作PH⊥AC于H，則PH⊥平面ABC，且H為AC的中點，連接BH，則PH=BH=

2

2

，
所以BP═PC=1，∴△PBC是正三角形，S_△PBC=

3

4

，
設棱錐A-PBC的高為h，
∵V_A-PBC=V_P-ABC，

1

3

×

1

2

AB•BC•PH=

1

3

×

3

4

h，
即

1

3

×

1

2

×1×1×

2

2

=

1

3

×

3

4

h，
解得h=

6

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直，幾何體的體積的應用，考查空間想象能力，計算能力．