已知
，函數
.
（1）當
時，討論函數
的單調性；
（2）當有兩個極值點（設為
和
）時，求證：
.
（1）詳見解析；（2）詳見解析.
解析試題分析：（1）先求出函數的導函數
，確定導數的符號，實質上就是確定分子
的正負，從而確定函數在定義域上的單調性，即對分子的
的符號進行分類討論，從而確定的符號情況，進而確定函數在定義域上的單調性；（2）根據、與
之間的關系，結合韋達定理得出
以及
的表達式，代入所證的不等式中，利用分析法將所要證的不等式轉化為證明不等式
，利用作差法，構造新函數
，利用導數圍繞
來證明.
試題解析：（1）
，，考慮分子
當
，即
時，在
上，
恒成立，此時在上單調遞增；
當
，即
時，方程
有兩個解不相等的實數根：
，
，顯然
， 
當
或
時，
；當
時，
；
函數在
上單調遞減，
在
和
上單調遞增.
（2）
、是的兩個極值點，故滿足方程
，
即、是的兩個解，
，
而在中，
，
因此，要證明，
等價于證明
，
注意到，只需證明
，即證，
令，則
，
當
時，
，函數
在
上單調遞增；
當
時，
，函數在
上單調遞減；
因此
，從而
，即，原不等式得證.
考點：1.利用導數研究函數的單調性；2.分類討論；3.分析法；4.構造新函數證明函數不等式
同步奧數系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝－aln x＋
＋x(a≠0)，
(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線x－2y＝0垂直，求實數a的值；
(2)討論函數f(x)的單調性．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
（
為常數），其圖象是曲線
．
（1）當
時，求函數
的單調減區間；
（2）設函數的導函數為
，若存在唯一的實數
，使得
與
同時成立，求實數
的取值范圍；
（3）已知點
為曲線上的動點，在點處作曲線的切線
與曲線交于另一點
，在點處作曲線的切線
，設切線
的斜率分別為
．問：是否存在常數
，使得
？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，f '（x）為f（x）的導函數，若f '（x）是偶函數且f '（1）=0.
⑴求函數
的解析式；
⑵若對于區間
上任意兩個自變量的值
，都有
，求實數
的最小值；
⑶若過點
，可作曲線
的三條切線，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，
．
（Ⅰ）若曲線
在
與
處的切線相互平行，求
的值及切線斜率；
（Ⅱ）若函數在區間
上單調遞減，求的取值范圍；
（Ⅲ）設函數
的圖像C1與函數
的圖像C2交于P、Q兩點，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1、C2于點M、N，證明：C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不可能平行．
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函數.
單調遞增區間；
時，求函數
．
在區間
上單調遞減；
對任意的
都成立，（其中
是自然對數的底數），求實數
的最大值．
（
為自然對數的底數）.
在
上的單調區間；
，是否存在區間
，使得當
時函數
的值域為
，若存在求出
，若不存在說明理由.
。
的極值點；
時，若方程
在
上有兩個實數解，求實數t的取值范圍；
時，
。