Question

（1）某學生在體育訓練時受了傷，醫生給他開了一些消炎藥，并規定每天早上八時服一片，現知該藥片每片含藥量為200毫克，他的腎臟每天可從體內濾出這種藥的60%，問：經過多少天，該同學所服的第一片藥在他體內殘留不超過10毫克？（lg2=0.3010）
（2）設a為實數，函數f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R，求函數的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據該藥片每片含藥量為200毫克，他的腎臟每天可從體內濾出這種藥的60%，利用所服的第一片藥在他體內殘留不超過10毫克，建立方程，即可求得結論；
（2）利用絕對值的幾何意義，化簡函數，再利用配方法，即可求得結論．

解答：解：（1）設經過x天該同學所服的第一片藥在他體內殘留不超過10毫克，
依題意得：200（1-60%）^x=10，即0.4x=

1

20

兩邊取常用對數，得xlg0.4=lg

1

20

，
即xlg

4

10

=lg

1

20

，∴x（2lg2-lg10）=-lg20，∴x（2lg2-1）=-（lg2+1）
∴x=3.3
∴4天后該同學體內藥殘留不超過10毫克．
（2）當x≥a時，f(x)=x2+x-a+1=(x+

1

2

)2-a+

3

4

，
當a＞-

1

2

時，f(x)min=f(a)=a2+1，
當a≤-

1

2

時，f(x)min=f(-

1

2

)=-a+

3

4

．
當x＜a時，f(x)=x2-x+a+1=(x-

1

2

)2+a+

3

4

，
當a＞

1

2

時，f(x)min=f(

1

2

)=a+

3

4

當a≤

1

2

時，f(x)min=f(a)=a2+1．

點評：本題考查函數模型的構建，考查二次函數的最值，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．