Question

已知函數，a＞0，
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設a=3，求f（x）在區間[1，e²]上值域．期中e=2.71828…是自然對數的底數．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出函數的導數，對參數的取值范圍進行討論，即可確定函數的單調性．
（II）由（I）所涉及的單調性來求在區間[1，e²]上的單調性，確定出函數的最值，即可求出函數的值域．
解答：解：（I）∵函數，a＞0
∴f′（x）=1+-，x＞0
令t=＞0
y=2t²-at+1（t≠0）
①△=a²-8≤0，即：0＜a≤2，y≥0恒成立，此時函數f（x）在（0，+∞）上是增函數
②△=a²-8＞0，即：a＞2，y=0有兩個不等根
由2t²-at+1＞0，得或t＞，又x＞0
∴或x＜0或x＞
由2t²-at+1＜0，得
∴
綜上：①0＜a≤2，函數f（x）在（0，+∞）上是增函數
②a＞2函數f（x）上是增函數，在上是減函數，
（2）當a=3時，由（1）知f（x）在（1，2）上是減函數，在（2，+∞）上是增函數，
故函數在[1，2]是奇函數，在[2，e²]上是增函數
又f（1）=0，f（2）=2-3ln2，f（e²）=e²-
∴f（x）在區間[1，e²]上值域是[2-3ln2，e²-]
點評：本題主要考查函數的單調性及值域，比較復雜的函數的單調性，一般用導數來研究，將其轉化為函數方程不等式綜合問題解決，研究值域時一定要先確定函數的單調性才能求解．