Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的左頂點為，右焦點為，，為橢圓上兩點，圓.

（1）若軸，且滿足直線與圓相切，求圓的方程；

（2）若圓的半徑為2，點，滿足，求直線被圓截得弦長的最大值.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）根據題意先計算出點坐標，然后得到直線的方程，根據直線與圓相切，得到半徑的大小，從而得到所求圓的方程；（2）先計算斜率不存在時，被圓截得弦長，斜率存在時設為，與橢圓聯立，得到和，代入到得到的關系，表示出直線被圓截得的弦長，代入的關系，從而得到弦長的最大值.

解：（1）因為橢圓的方程為，

所以，，

因為軸，所以，

根據對稱性，可取，

則直線的方程為，即.

因為直線與圓相切，得，

所以圓的方程為 .

（2）圓的半徑為2，可得圓的方程為.

①當軸時，，所以，

得，

此時得直線被圓截得的弦長為.

②當與軸不垂直時，設直線的方程為，

，，

首先由，得，

即，所以（*）.

聯立，消去得，

在時，，

代入（*）式，得，

由于圓心到直線的距離為，

所以直線被圓截得的弦長為，

故當時，有最大值為.

綜上，因為，

所以直線被圓截得的弦長的最大值為.