Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點。（1）求證AM//平面BDE；　

（2）求二面角A-DF-B的大小；

（3）試在線段AC上確定一點P，使得PF與BC所成的角是60°。

Answer 1

解: (Ⅰ)記AC與BD的交點為N,連接NE,

 ∵N、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，

∴四邊形ANEM是平行四邊形，

∴AM∥NE。

∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDE。---------------------3分

（Ⅱ） 建立如圖所示的空間直角坐標系。

   則點N、E的坐標分別是（、（0,0,1）,∴=(,

    又點A、M的坐標分別是（）、（

  ∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF。

∴為平面DAF的法向量。

又∵=（·=0，

∴ =（·=0 得

∴為平面BDF的法向量。

∴cos<>=

∴與的夾角是60º。

即所求二面角A—DF—B的大小是60º。-------------------------8分

（Ⅲ）設P(t,t,0)  (0≤t≤)得  

=（，0，0）

又∵PF和CD所成的角是60º

∴

解得或（舍去），

即點P是AC的中點。-----------------------------------------------------12分