Question

設橢圓C₁、拋物線C₂的焦點均在x軸上，C₁的中心和C₂的頂點均為原點，從每條曲線上至少取兩個點，將其坐標記錄于表中：

x	3	-2	4	2	3
y	-2 3	0	-4	2 2	- 1 2

（1）求C₁、C₂的標準方程；
（2）設直線l與橢圓C₁交于不同兩點M、N，且

OM

•

ON

=0，請問是否存在這樣的直線l過拋物線C₂的焦點F？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設拋物線C₂：y²=2px（p≠0），由題意知C₂：y²=4x（2分）．設C2：

x2

a2

+

y2

b2

=(a＞b＞0)，把點（-2，0）（

2

，

2

2

）代入得

4 a2 =1 2 a2 + 1 2b2 =1

解得

a2=4 b2=1

，由此可知C₂的方程．
（2）假設存在這樣的直線l過拋物線焦點F（1，0），設其方程為x-1=my，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

OM

•

ON

=0．得x₁x₂+y₁y₂=0．由

x-1=my x2 4 +y2=1

消去x，得（m²+4）y²+2my-3=0，然后由根的判別式和根與系數的關系可知假設成立，即存在直線l過拋物線焦點Fl的方程為：2x±y-2=0．

解答：解：（1）設拋物線C₂：y²=2px（p≠0），則有

y2

x

=2p(x≠0)，
據此驗證5個點知只有（3，-2

3

）、（4，-4）在統一拋物線上，易求C₂：y²=4x（2分）
設C2：

x2

a2

+

y2

b2

=(a＞b＞0)，把點（-2，0）（

2

，

2

2

）代入得

4 a2 =1 2 a2 + 1 2b2 =1

解得

a2=4 b2=1

∴C₂方程為

x2

4

+y2=1（5分）
（2）假設存在這樣的直線l過拋物線焦點F（1，0）
設其方程為x-1=my，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

OM

•

ON

=0．得x₁x₂+y₁y₂=0（*）（7分）
由

x-1=my x2 4 +y2=1

消去x，得（m²+4）y²+2my-3=0，△=16m²+48＞0
∴y1+y2=

-2m

m2+4

，y1y2=

-3

m2+4

①
x₁x₂=（1+my₁）（1+my₂）=1+m（y₁+y₂）+m²y₁y₂；
=1+m•

-2m

m2+4

+m2•

-3

m2+4

=

4-4m2

m2+4

②（9分）
將①②代入（*）式，得

4-4m2

m2+4

+

-3

m2+4

=0
解得m=±

1

2

（11分），
∴假設成立，即存在直線l過拋物線焦點Fl的方程為：2x±y-2=0（12分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．