Question

【題目】已知函數f（x）=lg（x+1），g（x）=lg（1﹣x）． （Ⅰ）求函數f（x）+g（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷函數f（x）+g（x）的奇偶性，并說明理由；
（Ⅲ）判斷函數f（x）+g（x）在區間（0，1）上的單調性，并加以證明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）要函數有意義，則 ∴﹣1＜x＜1，
即函數的定義域為（﹣1，1）
（Ⅱ）解：令F（x）=f（x）+g（x）=lg（x+1）+lg（1﹣x）=lg（1﹣x2）．
由（1）得函數定義域關于原點對稱
又F（﹣x）=F（x），
∴函數F （x）是偶函數．
（Ⅲ）解：F（x）=f（x）+g（x）在區間（0，1）上是減函數，
理由如下：
設x1、x2∈（0，1），x1＜x2 ，
則 ，即 ＞1，
∴F （x1）﹣F（x2）=lg（1﹣x12）﹣lg（1﹣x22）=lg ＞0．
即F （x1）＞F（x2）
∴F（x）=f（x）+g（x）在區間（0，1）上是減函數
【解析】（Ⅰ）由 可得函數f（x）+g（x）的定義域；（Ⅱ）根據F（﹣x）=F（x），可得：函數F （x）是偶函數（Ⅲ）F（x）=f（x）+g（x）在區間（0，1）上是減函數，作差可證明結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解復合函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”．